بررسی برخی فضاهای باناخ تحت نرم های سه جمله ای

در‎‎‎‎‎‎ چند ساله ی اخیر بررسی نقاط فرین گوی یکه ی برخی فضاها و به خصوص فضاهای چندجمله ای ها مورد توجه قرار گرفته است. اهمیت این بررسی ها در این حقیقت نهفته است که تابع محدب (مانند نرم چندجمله ای) تعریف شده روی یک مجموعه ی بسته‏، کراندار و محدب‏، ماکسیمم خود را روی نقاط فرین آن مجموعه اختیار می کند. این روش به رویکرد کراین-میلمن معروف است. مشخص سازی نقاط فرین به خصوص در فضای چندجمله ای ها یکی از شیوه های موثر در یافتن نامساوی های دقیق درباره ی چندجمله ای هاست. فرض کنید ‎‎$‎‎mathcal{p}‎_{m,n}(‎‎mathbb‎‎{r})‎$‎‎‎‎ فضای سه بعدی چندجمله ای ها به صورت ‎‎$‎ax‎^{m}+bx‎^{n}+c‎$‎‎‎ باشد که ‎‎$‎a,b,c‎$‎‎ حقیقی و ‎‎$‎m,n‎in ‎‎mathbb{n}‎$‎.‎‎ این فضا را با نرم یکنواخت مجهز می کنیم. می بینیم که ‎‎$‎ax‎^{m}+bx‎^{n}+c‎longmapsto‎‎‎(a,b,c)‎‎$‎ یک یکریختی طولپا از $‎‎mathcal{p}‎_{m,n}(‎mathbb{r})‎$ به ‎‎$‎‎mathbb{r}‎^{3}‎$‎‎‎ است ؛‎‎ اگر ‎‎$‎‎mathbb{r}‎^{3}‎$‎‎‎ را مجهز به نرم ‎egin{align*}‎ ‎vert ‎(a,b,c)‎vert‎_{m,n}=‎sup left‎‎‎{|ax‎^{m}+bx‎^{n}+c| :‎ ‎x‎in ‎[-1,1] ight}‎ end{align*}‎ کنیم.‎ لذا بررسی فضای $‎‎mathcal{p}‎_{m,n}(‎mathbb‎{r})‎$ به بررسی ‎‎$‎(‎mathbb{r}‎^{3},‎vert ‎.‎vert‎_{m,n})‎$‎‎‎‎ تقلیل می یابد. در بخش اول این پایان نامه برخی خواص هندسی و ازجمله نقاط فرین این فضا را مشخص می کنیم.‎‎ ‎ ewpage‎‎ در بخش دیگر فضای چندجمله ای های 2-همگن روی ‎‎$‎mathbb‎{r}‎^{2}‎$‎‎‎ را مجهز به نرم ‎egin{align*}‎ ‎vert ‎p‎vert‎_{‎igtriangleup‎}=‎sup ‎{|p(x)| :‎ ‎x‎in‎‎ ‎igtriangleup}‎ end{align*}‎‎‎ ‎می کنیم‎‎ که در آن ‎‎$‎‎igtriangleup‎$‎‎ مثلث به رئوس ‎‎$‎(0,0),(0,1)‎$‎ و ‎‎$‎(1,0)‎$‎ است. با نسبت دادن چندجمله ای ‎‎$‎p(x,y)=ax‎^{2}+bxy+cy‎^{2}‎$‎‎‎ به ‎‎$‎(a,b,c)‎in ‎mathbb‎{r}‎^{3}‎$‎‎‎‎ فضای این چندجمله ای ها را با ‎‎$‎(‎mathbb{r}‎^{3},‎vert ‎.‎vert‎_{‎igtriangleup‎})‎$‎‎ یکی می گیریم که در آن ‎‎$‎‎vert ‎(a,b,c)‎vert‎_{‎igtriangleup‎}=‎vert ‎p‎vert‎_{‎igtriangleup‎}‎‎$‎. ‎‎ ‎ در‎ این بخش نقاط فرین گوی یکه ی فضای این چندجمله ای ها را مشخص می کنیم و با استفاده از آن برخی نامساوی ها از نوع مارکف-برنشتاین را اثبات می کنیم. مثلا نشان خواهیم داد برای هر چندجمله ای 2-همگن روی مثلث مذکور‏،‎‎$‎‎igtriangleup‎$‎‎‏، داریم ‎egin{align}‎‎label{x1}‎‎ ‎vert ‎‎check{‎p}‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎vert‎‎_{‎igtriangleup‎}‎leq ‎3‎vert ‎p‎vert‎_{‎igtriangleup‎}‎ end{align}‎ و 3‎‎‎ بهترین ضریب است. در این جا ‎‎$‎‎‎‎‎‎‎p(x)‎‎‎=‎‎check{p‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎}(x,x)‎‎$‎‎‎‎‏، ‎‎$‎x‎in ‎mathbb‎{r}‎$‎ و ‎‎‎‎‎$‎check{‎‎‎p‎}‎$‎‎‎ یک نگاشت دوخطی از ‎‎$‎‎mathbb{r}‎^{2}‎$‎‎‎ به ‎‎$‎‎mathbb{r}‎$‎‎ است.